在小学和高中阶段接触到的数学知识，实际上只是这一广阔领域中非常微小的一部分。数学是一个包含深刻科学原理、丰富知识以及艺术美感的多元领域，远超过了学校课堂上所学习的基础内容。这种情况就像观察彩虹时，人们仅能看到有限的光谱部分，而无法直接感知到存在于更宽广光谱中的奇妙景象，除非借助特定工具。
数学作为一个研究领域，有许多子学科，在这篇文章中，我们将逐一介绍主要的学科，并试图解释它们包含什么以及我们为什么研究它们。
对于希望学习数学的学生和试图进入该领域的业余爱好者来说，读到像“代数拓扑”这样的词可能会被吓到。这不应成为一个障碍，因为只要足够分解，就能让它变得易于理解。
数论（NumberTheory）
这是数学最古老的子领域之一。它自古以来就一直被研究，从许多方面来看，它是所有数学的基石。我个人一直非常喜欢它，因为它的纯粹性。
但它究竟是关于什么的呢？
数论这一学科专注于研究自然数，也就是我们用来计数的正整数。考虑到人类已经花费了将近年的时间来探索这些看起来非常基础的数字，有人可能认为到现在为止，我们对它们的了解应该已经十分彻底了。
但就像生活中的许多事情一样，这种看似简单的模式在更深入地探索时变得复杂得多。特别是，在探索加法和乘法这两个简单的运算时，它们变得非常神秘。
在数论的研究领域中，对自然数即正整数的乘法结构的探索占据了重要位置。这种探索基于一个关键的发现：自然数可以通过一种被称为“乘法DNA”的方式来理解，即每个自然数都可以表示为质数的乘积。这一概念借鉴了生物学中DNA的原理，其中生物的遗传信息是通过一系列基础分子的组合来编码的。通过这样的视角，自然数的构成被看作是质数的特定组合，这种组合唯一地确定了每个数的性质，就像DNA决定了一个生物的基本特征一样。
质数是大于1的数p，使得p的唯一除数是1和p。质数序列开始于2,3,5,7,11,…，寻找第n个质数的通用公式从公元前年希腊人开始研究它们以来，一直是数学的一个圣杯。
为了让你感受到这种独特性，以12为例。12的质数分解是{2,2,3}，因为12=2?2?3，并且它不能使用任何其他质数来表示。
这立即引发了两个非常自然的问题：
自然数中的质数分布有没有规律？
质数有多少个？
我们知道，随着数字越来越大，质数变得越来越稀少。连续质数之间的间隔可以任意大，然而公元前年，欧几里得证明实际上存在无限多个质数。
我们也知道质数的近似分布，即我们有渐近公式来估算一定数值范围内质数数量。高斯猜想质数大致像函数x/log(x)那样增长，这里的log是自然对数（在其他情境中经常表示为ln），这在19世纪末被证明。从那时起，寻找更好的近似一直在进行中。我们相信为真的最终结果称为黎曼假设（RiemannHypothesis），然而，这到今天仍然未解决。
应该提到的是，数论内有许多子学科。有解析数论（将数论和复分析结合起来）、代数数论等，但我宁愿向你解释分析和代数究竟是关于什么，而不是列出所有这些领域。
在结束之前，引用一位大师的名言：
数学是科学的女王，数论是数学的女王。—卡尔·弗里德里希·高斯
几何学（Geometry）
几何学与数论一起，是数学中最古老的学科之一，传统上